Differential Equations - المعادلات التفاضليه

المعادلة التفاضلية هي معادلة تربط دالة واحدة أو أكثر ومشتقاته   في التطبيقات، تمثل الدوال عمومًا كميات مادية، وتمثل المشتقات معدلات التغيير الخاصة بها، وتعرف المعادلة التفاضلية العلاقة بين الاثنين نظرا لأن هذه العلاقات شائعة جدًا، تلعب المعادلات التفاضلية دورًا بارزًا في العديد من التخصصات بما في ذلك الهندسة والفيزياء والاقتصاد وعلم الأحياء.

تتكون دراسة المعادلات التفاضلية بشكل أساسي من دراسة حلولها (مجموعة الوظائف التي تلبي المعادلة)، وخصائص حلولها. أبسط المعادلات التفاضلية يمكن حلها بواسطة صيغ واضحة. ومع ذلك، قد يتم تحديد العديد من خصائص حلول معادلة تفاضلية معينة دون حسابها بالضبط.

في حالة عدم توفر تعبير مغلق للحلول، قد يتم تقريب الحلول عدديًا باستخدام أجهزة الحاسوب. تركز نظرية الأنظمة الديناميكية على التحليل النوعي للأنظمة التي تصفها المعادلات التفاضلية، في حين تم تطوير العديد من الطرق العددية لتحديد الحلول مع درجة معينة من الدقة.

التاريخ

توجد طرق عديدة لحل المعادلات التفاضلية منها:

• بعض الطرق المستخدمة لحل المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى:

1. فصل المتغيرات: وذلك بفصل المتغيرات x,dx في جهة وy,dy في جهة أخرى في جانبي المعادلة ومن ثم القيام بمكاملة الطرفين لتحصل على حل على شكل دالة عادية (y=f(x

2. التعويض

3. المعادلات الخطية

4. برنولي

• بعض الطرق المستخدمة لحل المعادلات التفاضلية من الرتبة n:

1. اختزال الرتبة

2. تحديد المعاملات

3. مبادلة المتغيرات

4. طريقة كوشي-أويلر لحل المعادلات التي فيها رتبة المشتقة هو نفسه أس معاملها

5. طريقة المتتابعات الأسية

ويوجد أكثر من أسلوب للحل العددي وكذلك التحليلي. كما توجد معادلات مشهورة مثل معادلات لابلاس وبرنولي وغيرهم.